Ре­ше­ние. а)  Пусть точка K  — се­ре­ди­на ребра AB, а Q  — такая точка на MK, что MQ : QK  =  2 : 1. Тогда Q  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABM, по­сколь­ку делит его ме­ди­а­ну MK в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Оче­вид­но, что про­ек­ци­ей от­рез­ка MK на плос­кость ABC будет от­ре­зок CK, по­это­му, по­сколь­ку О яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и делит CK в от­но­ше­нии 2 : 1, точка Q будет про­ек­ти­ро­вать­ся в эту точку. Пря­мая OO₁ и плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Вы­чис­лим объем пи­ра­ми­ды ABMC₁:

Ответ: б)