РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В наборе 70 гирек массой 1, 2, ..., 70 граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а)  Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 11 г, 15 г, 19 г?

б)  Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 9,5 грамма?

в)  Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Решение. а)  Изначально в первой кучке среднее составляло $левая круглая скобка 11 плюс 15 плюс 19 правая круглая скобка :3=15 г.$ Если после перекладывания оно стало равно 16 г, то масса кучки $4 умножить на 16=64 г.$ Значит, добавленная гирька была массой $64 минус 11 минус 15 минус 19=19 г,$ что невозможно, поскольку такая гирька только одна.

б)  Пусть изначально в первой кучке было n гирек суммарным весом 9,5n граммов. После перекладывания в кучке стала $n плюс 1$ гирька суммарным весом 10,5(n + 1) г. Значит, была добавлена гирька весом $10,5 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 9,5n=n плюс 10,5 г$   — нецелое число граммов.

в)  Пусть изначально в первой кучке было n гирек суммарным весом xn г, а после перекладывания в кучке стала n + 1 гирька суммарным весом $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка г.$ Значит, была добавлена гирька весом $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус xn=x плюс n плюс 1 г.$ Нужно сделать n как можно большим. Заметим, что даже если выбрать гирьки самой маленькой массы, n гирек будут весить $1 плюс 2 плюс \ldots плюс n= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби г,$ поэтому $x больше или равно дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби \г.$ Значит, масса добавленной гирьки не меньше чем $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка г.$ Отсюда $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 70,$ то есть $n меньше или равно 45.$

Пример для 45 гирек теперь легко построить. Возьмем в изначальный набор гирьки 1, 2, 3, ..., 45 граммов и добавочную гирьку массой $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =69 г,$ тогда все условия будут выполнены: средняя масса 23 грамма выросла до 24 граммов.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  45.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение пункта а; ―  обоснованное решение пункта б; ―  искомая оценка в пункте в; ―  пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	548569	а)  нет; б)  нет; в)  45.

Ключ