Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.
а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.
б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5.
Решение. а) Пусть SO — высота пирамиды. Проекция отрезка AS на плоскость ABC — это отрезок AO. Проекция отрезка SC на плоскость ABC — это отрезок OC. Следовательно, проекция точки N — это середина отрезка OC, точка P. Точки C, P, O, M лежат на одной прямой, причем CP = PO = OM, следовательно, MP = CO = AO. Таким образом, проекции отрезков MN и SA на плоскость основания пирамиды равны.
б) Обозначим высоту пирамиды за h. Тогда 
По пункту а) имеем:
следовательно,
Тогда 
Таким образом, для искомого объема получаем 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |