PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK = KD.
б) Найдите объем пирамиды MCDK.
Решение. а) Пусть O — центр основания пирамиды, N — середина ED, а H — точка пересечения прямых CO и DM. Плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды по условию, плоскость SOC перпендикулярна плоскости основания пирамиды по признаку перпендикулярности плоскостей (SO — высота правильной пирамиды) , KH — линия пересечения плоскостей MKD и SOC, тогда KH перпендикулярна плоскости основания и, следовательно, MD. Точка O — середина MN, OС параллельна ED, тогда OH — средняя линия треугольника MND (по признаку), значит, MH = HD, следовательно, KH является медианой и высотой в треугольнике MKD. Таким образом, треугольник MKD равнобедренный и MK = KD.
б) Вычислим:
Следовательно, HC = 6. Имеем:
поэтому 
тогда 
Найдем площадь треугольника MCD:
Тогда объем MCDK:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |