Тип Д10 C2 № 547765 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
На боковом ребре SA правильной треугольной пирамиды SABC взята точка D, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней SAC и SAB в точках M и N. Известно, что прямые DM и DN образуют углы β с плоскостью основания пирамиды, а величины углов DMS и DNS равны α, 
а) Докажите, что секущая плоскость параллельна ребру ВС.
б) Найдите угол MDN, если 
Решение. 
а) Пусть SE — это апофема грани SAC, а SF — грани SAB, где E и F являются серединами AC и AB соответственно. Пусть M' и N' — точки пересечения DM и DN c AC и AB. Рассмотрим треугольники SDM и SDN, в них SD — общая сторона, углы DSM и DSN равны как половины плоского угла при вершине. Углы DMS и DNS равны α, следовательно, углы SDM и SDN равны и при этом SD — общая сторона. Таким образом, треугольники SDM и SDN равны.
Тогда SM = SN и ME = NF как отрезки равных апофем SE и SF. Значит, треугольники MEM' и NFN' равны как прямоугольные с равными катетами и острыми углами. Таким образом, EM' = FN' и, следовательно, AH' = AN'. Тогда треугольник AM'N' — равносторонний, прямые M'N' и BC параллельны, а значит, плоскость DNM пересекает плоскость ABC по прямой параллельной BC и, таким образом, параллельна ей.
б) Через точки M и N проведем плоскость, параллельную основанию пирамиды, и пусть она пересекает боковые ребра пирамиды в точках A', B' и C'. Обозначим A'M = A'N = MN = 2a, DD' = D'M = D'N = b. Найдем угол DMA':
По теореме косинусов имеем:
тогда
С другой стороны, 
где H — середина MN.
Заметим, что 
а 
откуда получаем уравнение
Решая это уравнение относительно 
получаем, что 
то есть 
Таким образом, 
Тогда :
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: б)
547765
б)
PDF-версии: