В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Решение. 
Сечение (плоскость α) проходит через точки M и N, причем MN — средняя линия. Это означает, что отрезок MN || AB следовательно, MN || (ABC). По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем PQ || MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO — высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2 : 1, то есть
Точка K является серединой отрезка MN, причем KZ ⊥ CE, откуда следует, что KZ || SO, следовательно, ZE = ZO. Так как 
то
Таким образом, получаем, что CZ : ZE = 5 : 1.
б) Найдем периметр трапеции MNPQ: P = MN + NQ + PQ + MP, где
Для вычисления сторон MP = NQ, найдем высоту
(Величина
SO = 2, находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
SOC, учитывая, что
OC — радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен
Длину отрезка
NQ найдем из прямоугольного треугольника
NHQ (смотри рисунок).)
Катет NH = KZ = 1, а катет HQ равен
Получаем значение периметра
Ответ: 
----------
Дублирует задание 513096.
Примечание.
Сравните это задание с заданием из варианта Александра Ларина с заданием Основной волны ЕГЭ по математике 04.06.2015 513096.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
PDF-версии: 