PDF-версии: 
Основание ABCD призмы 
— трапеция с основаниями AB = 2CD.
а) Докажите, что плоскость 
проходит через середину бокового ребра 
б) Найдите угол между боковым ребром 
и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B, а BC = CD и 
Решение. а) Пусть плоскость
пересекает ребро 
в точке K. Параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, поэтому параллельные грани 
и 
сечение пересекает по параллельным прямым 
и 
Следовательно, углы 
и
равны и треугольники 
и 
подобны и коэффициент подобия 
то есть 
и K — середина
б) Пусть L — точка пересечения 
и СD, тогда BL — прямая пересечения плоскостей ABCD и 
Опустим из K и С перпендикуляры KH и CH на BL. Они попадут в одну точку по теореме о трех перпендикулярах. BL параллельно 
и параллельно 
Следовательно, ABLD — параллелограмм. Тогда CL = CD = BC и треугольник BCL — прямоугольный и равнобедренный и его высота равна 
при этом 
Следовательно, 
Тогда 
и равен углу между плоскостью и плоскостью основания. перпендикулярно ABCD, следовательно, угол между и равен 
Ответ: б) 30°.
Приведём решение п. б) Ирины Шраго.
Решим задание координатно-векторным методом. Начало координат в точке C, ось Ox вдоль луча CB, ось Oy вдоль луча CL, ось Oz вдоль луча CC1. Уравнение плоскости 
в отрезках
где 
и
Таким образом, вектор нормали 
а вектор 
поскольку он сонаправлен с осью Оz. Синус искомого угла равен модулю косинуса угла между этими векторами,
Следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |