Тип Д18 C7 № 544255 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
В ячейках таблицы 5 на 9 расставлены натуральные числа, среди которых ровно 33 нечетных. Александра рассматривает пары соседних ячеек, имеющих общую сторону. Если произведение чисел в паре четно, наша героиня считает такую пару зачетной.
А) Может ли в таблице быть ровно 22 зачетные пары?
Б) Может ли в таблице быть ровно 49 зачетных пар?
В) Какое наибольшее число зачетных пар может быть в таблице?
Решение. Ясно, что зачетные пары — ровно те, в которых есть хоть одно из 
четных чисел.
а) Да. Например, пусть четные числа стоят в первых двух столбцах и в двух оставшихся углах доски. Тогда зачетные пары либо содержат эти углы, либо две клетки внутри одного из первых столбцов, либо две клетки в строке, из которых левая в первых двух столбцах и всего их 
б) Нет. Каждое число может входить не более чем в 4 пары, поэтому 12 чисел не дадут более 48 зачетных пар.
в) Ответ 47. Пример: четными числами заняты клетки 2, 4, 6, 8 во второй и четвертой строках и клетки 1, 3, 5, 7 в средней. Тогда все числа, кроме того, что в первой клетке средней строки, участвует в четырех зачетных парах, а оно в трех.
Докажем, что сделать 48 нельзя (больше нельзя точно). Для этого каждое число должно участвовать ровно в четырех зачетных парах. Значит, нельзя ставить четные числа на краю доски (там 4 пары не набрать). Кроме того, нельзя ставить их рядом — тогда одна и та же пара клеток будет посчитана дважды. Итак, все они должны стоять в центральном прямоугольнике 3 · 7, при этом не быть соседними. Но этот прямоугольник можно разбить на 10 прямоугольников 1 · 2 и еще одну клетку (например 7 прямоугольников во второй и третьей строках стоят по столбцам, а еще три в оставшейся строке горизонтально), а в каждый прямоугольник можно взять не более одной клетки с четным числом, поэтому всего их максимум 
противоречие.
Ответ: а) да, б) нет, в) 47.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да, б) нет, в) 47.
544255
а) да, б) нет, в) 47.
PDF-версии: