РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 535423 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 306 (часть 2)

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус 2x, знаменатель: 2 синус x косинус x минус 1 конец дроби =1.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$2 синус x косинус x минус 1 не равно 0 равносильно синус 2x не равно 1,$ $2x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n равносильно x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .$

При таких х можно умножить на знаменатель, а значит, исходное уравнение эквивалентно уравнению $1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус 2x= синус 2x минус 1,$ откуда $2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2=0,$ и, следовательно,

$синус x= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента \pm корень из: начало аргумента: 18 минус 16 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Тогда

$синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Ограничению удовлетворяет только $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Найденные решения соответствуют точке единичной окружности, лежащей во второй четверти. Поэтому никакое из решений не лежит на отрезке $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) искомых решений нет.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

535423

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) искомых решений нет.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 306 (часть 2)

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	535423	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) искомых решений нет.