РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 531828 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 300

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x, знаменатель: синус 3x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что должны быть выполнены следующие условия: $x в квадрате минус 2x минус 3 меньше 0,$ $x в квадрате минус 2x минус 2 не равно 0,$ $синус 3x не равно 0,$ то есть $минус 1 меньше x меньше 3,$ $x не равно 0,$ $x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $x не равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $x не равно 1\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ При этих условиях применим к правой части формулу $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию a b= логарифм по основанию b a$ и получим равносильное уравнение

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x, знаменатель: синус 3x конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка 2.$

При тех же условиях имеем:

$дробь: числитель: синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x, знаменатель: синус 3x конец дроби =2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x= синус 3x равносильно$
$равносильно синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус синус 3x=0 равносильно 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$ $дробь: числитель: синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x, знаменатель: синус 3x конец дроби =2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x= синус 3x равносильно$
$равносильно синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус синус 3x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =0, новая строка косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = Пи k, новая строка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$

Из найденной серии ограничениям удовлетворяет только корень $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

б)  Очевидно, что единственный корень п. а) не лежит в указанном промежутке, то есть удовлетворяющих условию корней нет.

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) корней нет.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

531828

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) корней нет.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 300

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	531828	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) корней нет.