PDF-версии: 
Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка E такая, что 
и 
а) Докажите, что плоскость ABB1 проходит через точку E.
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости EBC, если объем EA1B1C1 в 2 раза меньше объема EBCC1.
Решение. а) Введем систему координат следующим образом: A — начало координат, AD совпадает с осью x, AB — совпадает с осью y, а AA1 — совпадает с осью z.
Объем куба — 27, следовательно, его ребро равно 3, а координаты точек B(0,3,0), C(3,3,0).
Пусть координаты точки E(x0, y0, z0), тогда
Вычтем из второго уравнения первое, получим 
откуда 
это значит, что точка E лежит в плоскости ABB1, уравнение которой 
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что плоскость EBC параллельна оси х так как содержит прямую BC. Значит, расстояние от точки D1 до плоскости EBC равно расстоянию до нее от точки A1 и равно длине перпендикуляра опущенного из A1 на прямую EB. Заметим, что 
значит, высота EBCC1 в два раза больше высоты EA1B1C1. Каждая из них лежит в плоскости ABB1 (так как первая высота перпендикулярна BCC1, а вторая — A1B1C1). Тогда координаты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h) или (0, 3 + 2h, 3 + h), где h — высота EA1B1C1.
Пусть E' — проекция точки E на BB1. Из треугольника BEE':
Таким образом, h = 2.
1. Пусть координаты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h): E (0, −1, 5). Составим уравнение прямой BE в плоскости ABB1:
Этому уравнению удовлетворяет B (0, 3, 0), то есть 
Возьмем 
откуда уравнение прямой
Тогда
2. Пусть координаты точки E (0, 3 + 2h, 3 + h): E (0, 7, 5). Составим уравнение прямой BE в плоскости ABB1:
Этому уравнению удовлетворяет B (0, 3, 0), то есть 
Возьмем 
откуда уравнение прямой
Тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода