РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 530238 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства высших степеней, Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Модули

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с модулем

Решите неравенство: $|x в квадрате минус 3x плюс 1| больше или равно корень из: начало аргумента: 4x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 1 конец аргумента .$

Решение. Заметим под знаком корня полный квадрат:

$корень из: начало аргумента: 4x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 1 конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = |2x в квадрате минус 1|.$

Возведём в квадрат обе части полученного неравенства и рассмотрим разность квадратов левой и правой частей:

$|x в квадрате минус 3x плюс 1|\geqslant|2x в квадрате минус 1| равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно левая круглая скобка 2x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате \geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3x в квадрате минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x в квадрате минус 3x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно левая круглая скобка 2x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате \geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3x в квадрате минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x в квадрате минус 3x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$

$равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: минус 3 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \leqslant0 равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 0, дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x\leqslant1. конец совокупности .$ $равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: минус 3 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 0, дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x\leqslant1. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

530238

$левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Модули

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	530238	$левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$