PDF-версии: 
Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается сторон AB и AC в точках M и N соответственно. Прямая BO пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке P.
а) Докажите, что точка P лежит на прямой MN.
б) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 24.
Решение. а) Заметим, что угол ONC равен 90°. Тогда OC — диаметр описанной окружности треугольника ONC. Продлим BO до пересечения с MN в точке K. Докажем, что угол BKC равен 90°, тогда точка K будет лежать на окружности с диаметром OC, а значит, совпадёт с точкой P. Пусть
Тогда 
поскольку треугольник AMN равнобедренный. Тогда
Точка K лежит на окружности с диаметром OC, значит, 
а точка K совпадает с точкой P.
б) Продлим CP до пересечения с AB в точке L. Тогда в треугольнике LBC BP является биссектрисой и высотой, следовательно, точка P — середина LC. Пусть h1 — перпендикуляр, опущенный из C на AB, а h2 — перпендикуляр, опущенный из P на AB. Тогда
Теперь найдём площадь треугольника ABP:
Ответ: б) 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |