PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Введем замену 
тогда из исходной системы получим
Поскольку 
исходная система имеет ровно ровно 4 различных решения тогда, когда система (⁎) имеет ровно два различных решения для 
При 
совокупность
определяет на плоскости tOy правую полуокружность окружности радиуса 1 с центром в точке 
и луч, лежащий на прямой 
Уравнение 
при задает вращающийся луч, выходящий из точки 
Неравенство 
означает, что решения системы (⁎) должны лежать строго выше прямой 
Пусть 
— значение параметра a, при котором прямая проходит через точку пересечения правой полуокружности окружности радиуса 1 с центром в точке с прямой Эта точка имеет координаты 
Пусть 
— значение параметра a, при котором прямая проходит через точку пересечения правой полуокружности окружности радиуса 1 с центром в точке с прямой 
Эта точка имеет координаты 
И пусть 
— значение параметра a, при котором прямая касается правой полуокружности окружности радиуса 1 с центром в точке 
Очевидно, что ответ имеет следующий вид: 
Найдем значение как тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс:
Значение найдем из уравнения 
Получаем: 
Значение найдем из условия равенства нулю дискриминанта D квадратного уравнения 
Имеем: 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |