РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 528869 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 47 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x правая круглая скобка конец дроби =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. а)  Заметим, что выражения под логарифмами должны быть положительны, а знаменатель не равен нулю, то есть корни уравнения должны удовлетворять следующим условиям:

$система выражений синус x не равно 0, косинус x больше 0, косинус x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби . конец системы .$

При выполнении этих условий уравнение равносильно совокупности

$совокупность выражений тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Условиям удовлетворяет (см. рис.) только $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Имеем:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 1 меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4k меньше 1.$

Единственным решением полученного двойного неравенства является $k=0,$ которому соответствует корень $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

528869

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 287

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	528869	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$