PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
имеет ровно одно решение.
Решение. Пусть 
тогда неравенство примет вид
Построим график функции 
в координатах 
и отметим (см. рис.), что если 
то каждому значению переменной t соответствуют ровно два значения переменной x, значению 
соответствуют ровно одно значение x, значениям 
не соответствуют никакие значения переменной x.
Решим теперь неравенство (*), используя свойства логарифмов:
Применим метод интервалов на плоскости. Укажем вначале область определения неравенства и ограничения на параметр:
Далее, найдём корни числителя:
Левая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, а правая часть — убывающую. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Этим корнем является 
Построим соответствующие линии на плоскости tOa и укажем на ней области, где неравенство выполняется (см. рис., выделено серым). Тем самым, при 
неравенство не имеет решений; при 
решением является луч 
при 
решений нет при 
решением является полуинтервал 
Чтобы исходное неравенство имело ровно одно решение, неравенство (*) должно иметь решение 
и не должно иметь решений 
Это возможно только в одном случае (см. рис. ниже, выделено синим): если
при 
Значит, исходное неравенство имеет ровно одно решение только при
Ответ: 2.
Примечание.
Дополнительно отметим, что при или 
исходное неравенство имеет бесконечно много решений (на рисунке выделено красным), а при 
или 
исходное неравенство решений не имеет.
Приведём другое решение.
Запишем неравенство в виде
Обозначим 
тогда неравенство примет вид:
Рассмотрим два случая.
1. Имеем: 
Функция 
— возрастающая, как произведение двух неотрицательных возрастающих функций. Следовательно,неравенство (*) равносильно 
т. е. 
Тогда
Первое неравенство системы будет иметь единственное решение 
если 
т. е. При 
второе неравенство выполняется для всех x. Следовательно, удовлетворяет условию задачи.
2. Имеем: 
Тогда 
и неравенство (*) можно записать в виде
Функция 
— возрастающая, как произведение двух неотрицательных возрастающих функций. Следовательно, неравенство (**) равносильно 
т. е. 
Тогда
При любом a полученное неравенство имеет бесконечно много решений. Следовательно, других значений a нет.
Ответ: 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |