Тип Д10 C2 № 527613 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC равен 
а сторона основания ABC равна 2. Точки K, M, N — середины ребер AB, CD и АС соответственно. Точка E лежит на отрезке KM так, что 
Через точку E проходит плоскость α перпендикулярная отрезку KM.
а) Найдите, в каком отношении плоскость α делит ребра пирамиды.
б) Найдите расстояние от точки N до плоскости α.
Решение. 
Проведем высоту DN в грани ADB. Найдём угол ADN:
и AN = 1, откуда AD = 6. Введем координаты с началом в точке K и направим оси вдоль прямых KC, KB и параллельно высоте DH пирамиды. Тогда имеем: 
— как середина отрезка, 
— делит отрезок CK в отношении 2 : 1. Высота пирамиды равна
Обозначим это число h. Тогда: 
и, наконец, 
откуда 
Найдем 
поэтому уравнение плоскости, которой он перпендикулярен, имеет вид 
(мы домножили координаты вектора на 6 для упрощения записи). Найдем D, подставив координаты точки E:
Итак, уравнение плоскости α после домножения на 2 имеет вид 
Запишем в параметрическом виде уравнение прямой BD: 
Подставим в уравнение плоскости и найдем точку пересечения:
Значит, точка T пересечения плоскости с ребром BD делит его в отношении
Ясно, что ребро AD делится в том же отношении, поскольку конфигурация симметрична относительно плоскости BDK.
Запишем в параметрическом виде уравнение прямой CD: 
Подставим в уравнение плоскости и найдем точку пересечения:
Значит, точка T1 пересечения плоскости с ребром CD делит его в отношении
б) По формуле расстояния от точки до плоскости получаем
Ответ: а) 5 : 7, 5 : 7, 11 : 21; б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) 5 : 7, 5 : 7, 11 : 21; б)
527613
а) 5 : 7, 5 : 7, 11 : 21; б)
PDF-версии: