PDF-версии: 
Окружность радиуса 
касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и P и пересекает строну AB в точках M и N (точка N между точками B и M). Известно, что MP и AC параллельны, 
а) Найдите угол BCA.
б) Найдите площадь треугольника BKN.
Решение. а) Обозначим за O центр окружности.
как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Тогда в прямоугольном треугольнике COP имеем 
откуда 
и 
б) Введем координаты с началом в точке C и осями, направленными по CA и перпендикулярной прямой. Тогда координаты некоторых точек мы знаем сразу — 
Кроме того, уравнение прямой CP это 
то есть 
Значит, координаты точки P имеют вид 
при этом 
Значит, 
откуда 
(
не подходит, поскольку не лежит на нужном луче).
Поскольку прямая PM параллельна прямой CA, то прямая PM перпендикулярна прямой OK. При этом POM — равнобедренный треугольник. Значит, P и M симметричны относительно вертикальной прямой OK. Отсюда находим координаты 
Найдем уравнение прямой AM. Оно имеет вид
то есть 
Теперь можно найти координаты точки B как точки пересечения AM и PC. Имеем:
откуда 
Далее, найдем на AM точку, удаленную на 
от точки O. Пусть ее координата по y равна t, тогда координата по x равна 
и расстояние до O получается:
откуда
Один из корней этого уравнения 
(y — координата точки M), поэтому другой — 
Значит, 
Тогда
Запишем уравнение BN в виде 
и вычислим расстояние от K до этой прямой: ##
Значит,
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б) б)