PDF-версии: 
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если 
и 
Решение. а) Обозначим 
тогда
Продлим CM за точку M на такое же расстояние и обозначим новый конец отрезка за T. Тогда треугольники CMA и TMB равны по первому признаку, следовательно, 
прямая AC параллельна прямой TB и 
Кроме того 
и 
поэтому треугольники TBC и DCK равны по первому признаку. Значит, 
б)Поскольку центр квадрата — середина его диагонали, отрезки 
и 
являются средними линиями треугольников BDA и AKB соответственно и равны 
и 
Вычислим BD по теореме косинусов из треугольника BCD, в котором 
и
Найдём BD:
Нетрудно видеть, что 
из такого же треугольника ACK.
Ответ: б) 7.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |