PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 3 решения.
Решение. Первое уравнение можно записать в виде
Выражая y из второго уравнения и подставляя в это, получим:
должно иметь три корня. Отметим сразу, что
откуда 
Итак, мы ищем корни лишь на этом промежутке. Одна из скобок должна быть равна нулю. Выясним сразу, при каких a есть x, обнуляющее обе скобки. Для это нужно, чтобы 
Но при 
левая часть отрицательна, а правая неотрицательна. Поэтому такое возможно лишь при 
и, соответственно, при 
и 
Запишем первое уравнение — 
Если построить график 
то мы получим параболу с вершиной в 
и нас будет интересовать количество ее пересечений с прямой 
над отрезком 
Из картинки виден ответ:
— при 
нет решений;
— при 
1 решение;
— при 
2 решения;
— при 
1 решение;
— при 
нет решений.
Запишем второе уравнение — 
Если 
то график 
можно построить, преобразовав уравнение к виду 
Значит, это будет верхняя полуокружность с центром в 
и радиусом 1 (полуокружность, поскольку 
). Если поменять знак у x, уравнение не изменится, поэтому можно сразу отразить эту полуокружность относительно вертикальной оси. Нас будет интересовать пересечение этих двух полуокружностей с параллельными прямыми вида 
Ясно, что при 
пересечений нет, при 
одно решение, при 
2 решения, при 
до момента касания с правой полуокружностью три решения, при касании два решения, далее до 
одно решение, при 
до момента касания с левой полуокружностью два решения, при касании одно решение, дальше решений нет.
Совмещая эти решения с решениями первого уравнения, получаем:
— при нет решений;
— при 1 решение;
— при 
2 решения;
— при 
2 решения (кажется, что 3, но два решения совпадают);
— при 
2 решения 
— при 3 решения 
— при до ситуации касания 4 решения 
— в ситуации касания 3 решения
— от касания при 
2 решения
— при 2 решения (кажется, что 3, но два решения совпадают);
— при не более двух решений — все у второго уравнения.
Осталось найти, при каком a прямая 
касается правой полуокружности. То есть расстояние от до этой прямой равно радиусу окружности. Имеем:
Ясно, что нужное нам a положительно, поэтому 
Второй ответ соответствует касательной, которая касается ненарисованной на нашей картинке нижней полуокружности.
Окончательно, 
или
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
или или