РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527554 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 269

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 синус x минус косинус 2x правая круглая скобка =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Перепишем уравнение в виде $3 синус x минус косинус 2x=1$ при условии $синус x больше 0,$ $синус x не равно 1.$ Имеем:

$3 синус x минус косинус 2x=1 равносильно 3 синус x минус левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =1 равносильно$ $3 синус x минус косинус 2x=1 равносильно$
$равносильно 3 синус x минус левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =1 равносильно$

$равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x минус 2=0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 2 правая круглая скобка =0.$ $равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x минус 2=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 2 правая круглая скобка =0.$

Второй множитель не равен нулю, поэтому

$синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат: $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527554

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$