PDF-версии: 
Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину K, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A. Известно, что 
а) Найдите угол K треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM.
Решение. а) Обозначим за T точку пересечения окружности с KM, отличную от M. По теореме о касательной и секущей
Обозначим 
тогда 
поэтому 
Далее, 
поскольку первый из них — вписанный, опирающийся на дугу AB, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AB. Значит, и 
откуда прямая AT параллельна прямой LM и треугольники AKT и LKM подобны, поэтому 
По теореме синусов для треугольника KAT имеем 
откуда 
или 
Второй ответ невозможен, см. п.б).
б) Пусть 
тогда 
и 
По свойству биссектрисы 
откуда 
Тогда по условию
А по теореме косинусов для треугольника AKT имеем
Очевидно первый случай невозможен, поскольку неравенство 
(верное при любых значениях переменных) не выполняется в этом случае. Значит, 
и 
Тогда
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б) б)