РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527549 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 268

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 4x минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 9x минус 2x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка .$

Решение. Найдем сначала ОДЗ неравенства

$система выражений 1 минус 2x больше 0,1 минус x больше 0,5 минус 4x минус x в квадрате больше 0,5 минус 9x минус 2x в квадрате больше 0,5 минус 4x минус x в квадрате не равно 1,1 минус x не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x меньше 1, левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка больше 0,x в квадрате плюс 4x минус 4 не равно 0,x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x меньше 1, минус 5 меньше x меньше 1, минус 5 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно минус 2\pm корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента ,x не равно 0 конец системы .$

Итого, $x принадлежит левая круглая скобка минус 5; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Преобразуем теперь неравенство при таких x:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка конец дроби равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Рационализируем:

$дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 5 плюс x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x минус левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4 плюс x правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка 4 минус 4x минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 4 плюс x, знаменатель: 4 минус 4x минус x в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 4 плюс x, знаменатель: 4 минус 4x минус x в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4; минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка .$ $равносильно дробь: числитель: 4 плюс x, знаменатель: 4 минус 4x минус x в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 4 плюс x, знаменатель: 4 минус 4x минус x в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4; минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка .$

Учитывая ОДЗ, окончательно получаем $x принадлежит левая круглая скобка минус 5; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ (отметим, что $корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента минус 2 больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ ).

Ответ: $левая круглая скобка минус 5; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527549

$левая круглая скобка минус 5; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 268

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527549	$левая круглая скобка минус 5; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$