PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания ABCDEF равна 2, а боковое ребро 3.
а) Докажите, что плоскость AFM, где M — середина ребра SC, делит ребро SB в отношении 
считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCDEF плоскостью AFM.
Решение. а) Рассмотрим треугольник ASC. Середина стороны AC лежит в плоскости BSE на отрезке BE. Поэтому точка пересечения его медиан (лежащая в плоскости сечения, на прямой AM) делит его медиану из вершины S в отношении
Проведем через нее прямую, параллельную BE (а, следовательно, и AF). Она разделит отрезок SB в отношении 
по теореме Фалеса. Эта точка (K) лежит в сечении.
б) Проведем через M прямую, параллельную CD (а, следовательно, и AF). Это будет средняя линия треугольника CSD, поэтому сечение будет содержать N — середину SD. Выберем на SE точку P так, чтобы 
Она тоже будет лежать в сечении по причинам, аналогичным пункту A. Значит, сечение — шестиугольник 
Плоские углы при вершине пирамиды можно найти, написав теорему косинусов для боковой грани (например SBC). Имеем:
откуда 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ASK получаем
По теореме косинусов для треугольника SKM получаем:
Шестиугольник тогда разбивается на две равнобедренные трапеции AFPK и KPNM. Площадь их можно найти, если найти высоту. Опуская мысленно высоты из концов меньшего основания, разобьем большее основание на три части — крайние равны половине разности оснований. Тогда высоту можно найти по теореме Пифагора, если известна боковая сторона.
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |