PDF-версии: 
Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке P. Точка О — середина АР.
а) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что 
Решение. а) Поскольку углы
и BNC опираются на диаметр, они прямые. То есть CM и BN — высоты треугольника (и Значит, он остроугольный, иначе хоть одна из точек M и N лежала бы на продолжении стороны), а P — его точка пересечения высот. Тогда 
как медианы прямоугольных треугольников ANP и AMP, равные половине общей гипотенузы.
б) По теореме о произведении отрезков секущих получаем 
откуда 
и 
По теореме Пифагора для треугольника BNA получим
По теореме Пифагора для треугольника BNC получим
Как мы знаем из п. а),
то есть точки A, M, P, N лежат на окружности с центром в точке O. Поэтому
(замена угла основана на теореме о вписанном угле — центральный угол MON вдвое больше вписанного MAN).
По теореме косинусов для треугольника BAC имеем
откуда 
По теореме Менелая для треугольника ABN и прямой MPC имеем 
откуда
По теореме Пифагора для треугольника APN находим
Окончательно
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |