РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527450 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 262

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента косинус x умножить на \ctg x минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента косинус x минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента \ctg x=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Преобразуем уравнение (первым делом поделим на $корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$ и домножим на $синус x$ ):

$корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате x минус синус x косинус x минус косинус x=0 равносильно косинус x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно косинус x левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$ $равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0.$

Поэтому либо $косинус x=0,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ либо $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k$ или $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k$ (для них $косинус x=0,$ поэтому они уже включены в ответ). Окончательно, $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k.$

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527450

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 262

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527450	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$