PDF-версии: 
В треугольной пирамиде SABC плоские углы ABC и SAB прямые, двугранный угол между плоскостями ABS и ABC равен 
а) Найдите косинус угла между гранями ASC и ABC.
б) Найдите длину высоты пирамиды, опущенной из вершины B на плоскость ASC.
Решение. Поскольку прямая AS перпендикулярна прямой AB, прямая BC перпендикулярна прямой AB и
то
Введем координаты с началом в точке B и осями, направленными по BC, BA и перпендикуляру к ABC. Тогда координаты вершин будут 
Проекция луча AS на плоскость ABC — луч, проходящий через A перпендикулярно AB, поэтому y-координата точки S равна 4. Отношение ее x и z — координат равно котангенсу угла между лучом AS и его проекции, то есть 
Нетрудно видеть, что для задачи совершенно неважно. где именно на луче расположена точка S, поэтому мы можем выбрать координаты произвольно. Пусть 
а) Найдем уравнение плоскости ASC. Пусть оно имеет вид 
тогда, подставляя в него координаты точек, получим
Пусть 
тогда из первых двух уравнений 
а из последнего:
Домножая уравнение на 3 получим:
Уравнение плоскости ABC это 
Поэтому:
Знак выбран так, чтобы ответ был отрицательным, поскольку проекция точки S на плоскость основания находится по другую сторону от прямой AC нежели точка B, поэтому угол будет тупым.
б) Расстояние от B до плоскости ASC составляет
Ответ: a) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б)