PDF-версии: 
В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, 
угол между ребром DC и гранью ABC равен 
а) Докажите, что середина ребра AB равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD.
б) Найдите угол между ребром AB и гранью ACD.
Решение. Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AC, AD и перпендикуляра к плоскости ACD. За единицу длины выберем длину
поскольку ADC — прямоугольный треугольник с углом 45°. По условию, прямая AB перпендикулярна прямой CD, поэтому и проекция AB на плоскость ACD перпендикулярна CD. Значит, проекция точки B лежит на биссектрисе угла DAC, поэтому координаты B по x и y равны. Пусть 
— координаты этой точки. Координаты остальных вершин таковы — 
По условию, 
то есть 
Найдем уравнение плоскости ABC. Допустим оно имеет вид 
Подставляя координаты точек, получим
Из первых двух уравнений следует 
для последнего уравнения можно взять 
Итак, уравнение плоскости 
Вектор 
имеет координаты 
Посчитаем угол между прямой и плоскостью. Имеем:
Это уравнение сводится к 
откуда 
Тогда
откуда
Первый вариант дает точку A, а вовсе не B. Тогда 
но мы можем считать, что 
изначально поместив пирамиду в верхнее полупространство.
a) Найдем уравнение грани BCD. Допустим оно имеет вид Подставляя координаты точек, получим
Возьмем 
тогда из последних двух уравнений 
и тогда из первого 
Итак, уравнение плоскости BCD имеет вид 
Середина AB имеет координаты 
Расстояние от нее до плоскости ACD равно ее z-координате, то есть 
Вычислим расстояние до BCD:
что и требовалось доказать.
б) Вектор 
сонаправлен вектору 
поэтому нужно посчитать угол между этим вектором и плоскостью 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |