PDF-версии: 
В кубе 
ребро которого равно 6, точки M и N — середины ребер AB и 
соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что 
а) Найдите расстояние между прямыми MN и AK.
б) Расстояние от точки 
до плоскости треугольника MNK.
Решение. Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AD, AB,
соответственно. Тогда координаты точек будут такими — 
а) Уравнение прямой MN это 
Уравнение прямой AK это 
(последнее равенство понимается так — у всех точек на этой прямой координата по оси z равна нулю). Найдем вектор 
Нужно чтобы 
и 
Возьмем, например, 
Значит, плоскость 
параллельна обеим прямым. Выберем D так, чтобы плоскость содержала прямую AK. Подставляя координаы точки A, получим 
Итак, плоскость 
содержит прямую AK и параллельна прямой MN. Найдем теперь расстояние от точки N до этой плоскости, это и будет требуемое расстояние. Имеем:
б) Найдем уравнение плоскости MNK. Пусть оно имеет вид 
Подставляя координаты точек, получим три условия про A, B, C, D:
Возьмем в первом уравнении 
Тогда 
из второго уравнения тогда 
и, наконец, из последнего 
Уравнение плоскости будет
Домножим его для удобства на 2 и получим 
Координаты точки это 
поэтому расстояние от до MNK будет равно
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
б) б)