Тип Д15 C4 № 527287 
Сложная планиметрия. Многоугольники
i
В четырехугольнике ABCD через каждую его вершину проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части.
а) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 108°?
Решение. 
а) Пусть 
делят площадь ABCD пополам. Имеем:
Кроме того,
также у этих треугольников равные высоты, опущенные из точки I.
Далее:
высоты этих треугольников, опущенные из точки I, равны.
Пусть 
Тогда:
Следовательно, 
Кроме того,
Следовательно, треугольники ABD и CBD равны. Значит, BD — биссектриса угла B, а BD, 
и 
совпадают. Следовательно, делит 
пополам.
б) Ясно, что ромб с углами 108°, 108°, 72° и 72° годится. Из пункта а): 
и 
Далее, 
следовательно, прямая 
параллельна прямой AD. Значит, 
Следовательно, 
— равнобедренная трапеция, а углы BAD, ADC и BCD равны. Значит, в ABCD три равных угла: 108°, 108°, 108° и 36° или 108°, 84°, 84° или 84°.
Замечание. Четырёхугольник, для которого каждая из прямых, проходящих через вершину и центр вписанной окружности, делит его на две равновеликие части, есть либо ромб, либо выпуклый дельтоид, у которого три угла равны и меньше четвёртого: с углами α, α, α и 360° − α, где α < 360° − 3α < 180°, то есть 60° < α < 90°.
Ответ: б) 108°, 108°, 108° и 36° или 108°, 84°, 84° или 84°.
Примечание.
В 2009 году это задание предлагалось одиннадцатиклассникам на Московской математической олимпиаде.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 108°, 108°, 108° и 36° или 108°, 84°, 84° или 84°.
527287
б) 108°, 108°, 108° и 36° или 108°, 84°, 84° или 84°.
PDF-версии: