Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причем 
а) Докажите, что прямая AB параллельна прямой CE.
б) Найти углы треугольника ABC.
Решение. а) По условию диагонали четырехугольника ABEC делятся точкой пересечения пополам, поэтому он параллелограмм и прямая AB параллельна прямой CE
б) Если параллелограмм вписан в окружность, то он прямоугольник, поэтому 
Кроме того, BC — диаметр окружности, а M — ее центр. Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим 
Тогда 
Применим теорему о равенстве произведений отрезков хорд:
поэтому 
Далее:
поэтому 
Значит,
Итак, 
тогда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |