РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527258 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 248

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби больше 0.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби больше 0 равносильно 0 меньше логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 1 равносильно 1 меньше дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно 0 меньше логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 1 равносильно 1 меньше дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно 0 меньше логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 1 равносильно$
$равносильно 1 меньше дробь: числитель: x в квадрате минус |x| минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2.$

Разберем теперь три случая.

При $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка$ имеем:

$1 меньше дробь: числитель: x в квадрате плюс x минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2 равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x плюс 3 больше x в квадрате плюс x минус 12, новая строка 2x плюс 6 меньше x в квадрате плюс x минус 12 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x в квадрате минус 15 меньше 0, новая строка x в квадрате минус x минус 18 больше 0 \endaligned. равносильно$

$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x принадлежит левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка , новая строка x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка . \endaligned.$

Докажем, что $минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента меньше дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Имеем:

$2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента плюс 1 больше корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента ;$

$60 плюс 1 плюс 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента больше 73;$

$4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента больше 12;$

$корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента больше 3.$

Значит, ответ на этот случай будет $x принадлежит левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ; дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ (остальные ответы не удовлетворяют условию $x меньше минус 3$ ).

При $x принадлежит левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка$ имеем:

$1 меньше дробь: числитель: x в квадрате плюс x минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2 равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x плюс 3 меньше x в квадрате плюс x минус 12, новая строка 2x плюс 6 больше x в квадрате плюс x минус 12 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x в квадрате минус 15 больше 0, новая строка x в квадрате минус x минус 18 меньше 0 \endaligned.$

Первое неравенство не имеет решений на промежутке $левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка .$ Поэтому такой случай невозможен.

При $x больше 0$ имеем:

$1 меньше дробь: числитель: x в квадрате минус x минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2 равносильно 1 меньше дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2 равносильно 1 меньше x минус 4 меньше 2 равносильно x принадлежит левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$ $1 меньше дробь: числитель: x в квадрате минус x минус 12, знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2 равносильно 1 меньше дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби меньше 2 равносильно$
$равносильно 1 меньше x минус 4 меньше 2 равносильно x принадлежит левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Окончательно: $x принадлежит левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ; дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ; дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

527258

$x принадлежит левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ; дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$