Тип Д10 C2 № 527257 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
Основание прямой призмы 
— ромб KLMN с углом 60° при вершине K. Точки E и F — середины ребер LL' и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина) лежит на прямой LN, вершины D и B — на прямых MM' и EF соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что точка В лежит на прямой ММ'.
б) Найти отношение объемов призмы и пирамиды.
Решение. а) Прямая LN перпендикулярна двум пересекающимся прямым KM и LL1 плоскости MM1K1K, поэтому прямая LN перпендикулярна этой плоскости. Тогда, любая прямая, проходящая через точку P перпендикулярно NL (или совпадающей с ней прямой SA), лежит в плоскости MM1K1K.
Известно, что боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды перпендикулярно, скрещивающейся с ним диагонали основания. Кроме того, если прямая l и плоскость α перпендикулярны одной и той же прямой, то прямая l либо лежит в плоскости α, либо параллельна ей.
Скрещивающиеся прямые SA и BD перпендикулярны и плоскость MM1K1K перпендикулярна прямой SA, поэтому прямая BD либо лежит в плоскости MM1K1K, либо параллельна ей. Второй случай исключается, так как по условию задачи точка D лежит на прямой MM1, то есть является общей точкой прямой BD и плоскости MM1K1K. Значит, прямая BD лежит в плоскости MM1K1K. В то же время, точка B лежит в плоскости MM1L1L, так как она лежит на прямой EF этой плоскости. Следовательно, точка B лежит на прямой MM1 пересечения плоскостей MM1K1K и MM1L1L.
б) Из пункта а) следует, что M — середина диагонали основания ABCD пирамиды. Тогда MP — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SA и BD. Обозначим AB = a. Тогда 
Из равенства треугольников BMF и ELF следует, что 
поэтому 
Пусть V1 и V2 — объёмы призмы KLMNK1L1M1N1 и пирамиды SABCD. Тогда
Следовательно,
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Ответ: б)
527257
б)
PDF-версии: