РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1×1×3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.

а)  Могло ли получиться так, что склад объёмом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?

б)  Могло ли получиться так, что на складе объёмом 400 невозможно разместить 133 контейнера?

в)  Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?

Решение. а)  Длина одного из рёбер параллелепипеда объёмом 150 делится на 3. Значит, если расположить все контейнеры так, чтобы их длинное ребро было параллельно этому ребру параллелепипеда, то склад будет полностью заполнен.

б)  Рассмотрим склад размером 2×2×100. Контейнеры в нём могут располагаться только так, что их длинное ребро параллельно длинному ребру склада. Таким образом, любой из контейнеров целиком располагается в одном из четырёх параллелепипедов размером 1×1×100, на которые можно разбить параллелепипед размером 2×2×100. Но в каждый из этих четырёх параллелепипедов можно поместить нс более 33 контейнеров. Значит, на складе невозможно разместить более 132 контейнеров.

в)  Пусть склад имеет размеры a×b×c. Покажем, что его можно заполнить контейнерами так, что останется свободное пространство объёмом a₀b₀c₀, где a₀, b₀, c₀ остатки от деления на 3 чисел a, b и c соответственно. Параллелепипед размером a×b×c можно разбить на параллелепипеды размером $левая круглая скобка a минус a_0 правая круглая скобка \times b\times c,$ $a_0\times левая круглая скобка b минус b_0 правая круглая скобка \times c,$ $a_0\times b_0\times левая круглая скобка c минус c_0 правая круглая скобка$ и $a_0\times b_0\times c_0.$ Каждый из этих параллелепипедов, кроме последнего, можно полностью заполнить контейнерами, поскольку длина одного из рёбер каждого из этих параллелепипедов делится на 3. Таким образом, останется незаполненным только параллелепипед размером $a_0\times b_0\times c_0,$ объём которого равен a₀b₀c₀.

Заметим, что для любых чисел а, b и с значение выражения a₀b₀c₀ не превосходит 8. Значит, склад объёмом не менее 200 всегда можно заполнить контейнерами так, чтобы объём свободного пространства был не более 8. Таким образом, можно гарантировать, что не менее 96% склада будет заполнено.

Аналогично пункту б, в склад размером 2×2×50 нельзя поместить больше 64 контейнеров. То есть в этом случае можно заполнить не более 96% склада.

Ответ: а) нет; б) да; в) 96.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527255	а) нет; б) да; в) 96.

Ключ