PDF-версии: 
Найдите все значения a, при которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение. Изобразим на координатной плоскости точки, удовлетворяющие первому уравнению. Для этого сначала проведем прямую 
Вместе с координатными осями она разобьет плоскость на шесть частей, в каждой из которых модули раскрываются одинаково во всех точках.
При 
имеем 
откуда 
Нас интересует только отрезок этой прямой от 
до 
При 
имеем 
откуда 
Нас интересует только отрезок этой прямой от 
до
При 
имеем и 
откуда 
Нас интересует только отрезок этой прямой от до 
Заметим далее, что если поменять знак у x и y, то уравнение не изменится. Поэтому вторую половину картинки можно получить, сделав центральную симметрию уже построенной части. Итак, график первого уравнения — шестиугольник с вершинами 
График второго уравнения — окружность с центром в начале координат и радиусом 
при положительных a (точка при 
и пустое множество при 
). Заметим, что точки 
образуют квадрат. Его сторона 
поэтому радиус вписанной окружности 
Значит, при 
окружность лежит целиком внутри этого квадрата и не имеет общих точек с шестиугольником. При 
она касается двух сторон шестиугольника, поэтому такая ситуация нас устраивает. При бОльших a (но меньших чем 
) она содержит две точки с отрезка, соединяющего 
и 
но при этом выходит за пределы шестиугольника. в каждой полуплоскости относительно 
Значит, в каждой полуплоскости она имеет минимум два пересечения с контуром, а всего минимум четыре.
При 
она содержит две вершины шестиугольника, а остальные вершины лежат у нее внутри, поэтому она больше нигде не пересекает его стороны. При бОльших a все вершины шестиугольника лежат у нее внутри и точек пересечения нет вовсе.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |