Ре­ше­ние. а)  Да. Возь­мем число 11. C одной сто­ро­ны от него ми­ни­мум 5 чисел. Если два из них упо­ря­до­че­ны так, что к ним можно до­ба­вить 11  — по­лу­чи­лось три числа. Если же все их пары упо­ря­до­че­ны иначе, то все эти пять или более чисел упо­ря­до­че­ны.

б)  Нет. На­при­мер, для 9, 10, 6, 3, 2, 11, 4, 5, 8, 7 это не­воз­мож­но. До­ка­жем это.

Если вы­би­рать числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния, то можно взять мак­си­мум одно число из каж­до­го из сле­ду­ю­щих на­бо­ров  — (9, 6, 3, 2), (10, 8, 7), (11, 5) и 4, по­это­му чисел будет не более че­ты­рех.

Если вы­би­рать их в по­ряд­ке убы­ва­ния, то ана­ло­гич­но можно взять мак­си­мум одно число из каж­до­го из сле­ду­ю­щих на­бо­ров  — (9, 10, 11), (6, 8), (3, 4, 5, 7) и 2, по­это­му чисел будет не более че­ты­рех.

в)  Да. На­пи­шем под каж­дым чис­лом длину мак­си­маль­ной воз­рас­та­ю­щей и мак­си­маль­ной убы­ва­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­на­ю­щей­ся с этого числа. На­при­мер для при­ме­ра пунк­та б под чис­лом 6 будет на­пи­са­но (2; 3). Для двух чисел эти пары не могут сов­па­дать. Пусть, на­при­мер, a за­пи­са­но рань­ше b и тогда к воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­на­ю­щей­ся с b, можно в на­ча­ло до­ба­вить a, по­это­му для a длина мак­си­маль­ной убы­ва­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти будет боль­ше. Ана­ло­гич­но если то можно будет удли­нить убы­ва­ю­щую по­сле­до­ва­тель­ность.

Если вы­брать по­сле­до­ва­тель­ность из че­ты­рех чисел нель­зя, то все под­пи­сан­ные числа не пре­вос­хо­дят трех. Но пар таких чисел есть всего 9, Зна­чит, для каких-то из 10 чисел пары сов­па­дут. Про­ти­во­ре­чие.