PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение. Если 
первое уравнение можно записать в виде:
Пары чисел, являющихся его решениями, представляют собой координаты точек на дуге окружности с центром 
и радиусом 
лежащей в полуплоскости 
Аналогично, если 
первое уравнение можно записать в виде:
Пары чисел, являющихся его решениями, представляют собой координаты точек на дуге окружности с центром 
и радиусом лежащей в полуплоскости 
Точки пересечения этих окружностей с прямыми можно угадать по картинке и проверить подстановкой, это 
и 
Второе уравнение задает прямую, проходящую через точку 
и любая прямая, кроме вертикальной, может быть задана таким уравнением.
Итак, задача свелась к следующей — при каких a прямая, проходящая через точку имеет еще ровно одно пересечение с построенной фигурой? Очевидно, сама прямая, содержащая общую хорду окружностей, подходит. Она получается при 
Если ее поворачивать в любую сторону, она будет давать одно решение до тех пор, пока не станет касательной к одной из окружностей. Затем решений станет два. Итак, осталось выяснить, при каких a эта прямая касается наших окружностей. Для этого расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности.
Запишем уравнение прямой в виде 
Для первого центра имеем:
Для второго центра имеем
Значит, ответ 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |