PDF-версии: 
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD. Отрезок LM содержит точку K. Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD трапеция.
б) Найдите радиус этой окружности, если 
и 
Решение. а) Отметим на прямой LM точки
и 
так, что 
и 
Тогда 
и 
— параллелограммы (их диагонали делятся точками пересечения пополам). Тогда 
и 
как соответственные. Значит, треугольники 
и 
подобны, то есть 
Тогда и 
откуда следует подобие треугольников BKC и DKA по углу и двум парам пропорциональных сторон. Значит, 
то есть прямая BC параллельна прямой AD, что и требовалось доказать.
Комментарий. Условие описанности для этого пункта не нужно. Отметим также, что ABCD может быть параллелограммом (учитывая описанность — ромбом).
б) Ясно, что 
из подобия треугольников BLK и KMD по двум углам. Пусть 
Из условия описанности 
поэтому 
Обозначим 
и напишем теорему косинусов для треугольников BCA и CAD:
Домножим верхнее уравнение на 3 и вычтем из нижнего. Получим:
Итак, 
Поскольку 
поэтому AB — высота трапеции. Радиус окружности, очевидно, равен половине этой высоты.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |