РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 526896 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Тригонометрические уравнения и неравенства

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Неравенства с тригонометрией

Решите неравенство $20 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно 1.$

Решение. Воспользовавшись свойством логарифмов преобразуем неравенство:

$20 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 20 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 5 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 0$ $20 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 20 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 5 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 0$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка =t,$ тогда неравенство примет вид:

$5t в квадрате плюс 4t минус 1\leqslant0 равносильно минус 1 меньше или равно t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$

Вернёмся к исходной переменной:

$минус 1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно косинус x меньше или равно корень 5 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента равносильно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z.$ $минус 1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно косинус x меньше или равно корень 5 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка ,$ где $k принадлежит \mathbb Z.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

526896

$левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка ,$ где $k принадлежит \mathbb Z.$