Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно шесть решений.
Решение. При 
второе уравнение системы, а значит, и вся система не имеют решений.
Если a = 0, то получаем систему 
которая имеет единственное решение 
Рассмотрим случай 
Имеем
Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при 
Заметим, что при любых положительных значениях a эти две прямые лежат ниже прямой 
Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы 
(на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому 
При этом условии гипербола 
пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).
Еще два решения должны получаться при пересечении прямых гиперболой 
в двух различных точках в четвертой координатной четверти. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала одну из прямых (на рисунке — красные точки), и не имела общих точек с другой прямой. (Ситуация, при которой каждая из прямых имеет одну общую точку с гиперболой и эти точки различны, невозможна.) Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений
и 
одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:
Учитывая, что 
приходим к ответу.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек a = 1, и / или a =  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка  и  возможно, с включением граничных точекИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гипербол и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |