Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет единственное решение на отрезке 
Решение. Уравнение имеет решения при любом a из множества значений функции 
определённой на отрезке 
Найдём множество значений функции на данном отрезке.
Вычислим производную: 
Решим уравнение 
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Найдем значение функции на концах отрезка и в точке максимума:
Для вычисления значений синуса и косинуса величины 
обратимся к рисунку: тангенс отмеченного острого угла прямоугольного треугольника равен 2, синус и косинус этого угла находим как отношение катетов к гипотенузе.
Итак, функция 
на отрезке 
возрастает, принимая значения из отрезка 
а на отрезке 
убывает, принимая значения из отрезка 
Поэтому уравнение имеет единственное решение при 
и 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Преобразуем выражение, задающее функцию путем введения вспомогательного угла:
где 
Заметим, что 
и поскольку функция 
достигает своего максимального значения 1 в нуле, то функция достигает максимума равного 
в точке 
Остается найти значения функции на концах отрезка:
Таким образом, функция на отрезке возрастает, принимая значения из отрезка а на отрезке убывает, принимая значения из отрезка Поэтому уравнение имеет единственное решение при и
Приведём ещё одно решение.
Пусть 
Тогда 
а уравнение записывается в виде 
Введём систему координат zOy и отметим на окружности ω, задаваемой уравнением 
точки 
и 
соответствующие повороту точки с координатами (1; 0) на угол 
и 
соответственно (см. рис.). Исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке 
тогда и только тогда, когда прямая l, задаваемая уравнением 
имеет с меньшей дугой АВ окружности ω единственную общую точку.
Пусть прямая l проходит через точку А при 
проходит через точку В при 
и касается окружности ω при 
Тогда искомыми являются все значения параметра из полуинтервала 
и 
Подставляя координаты точек A и B в уравнение прямой l, находим:
Значение aC определим следующим образом: касанию прямой и окружности соответствует единственное решение системы уравнений 
и 
то есть единственное решение уравнения 
Приведем его к виду 
и найдем дискриминант 
который обращается в нуль при 
Касанию прямой и окружности в I четверти соответствует положительное значение параметра, тем самым, 
Итак, и
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены не все значения a. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |