РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 525138 Добавить в вариант

Источники:

Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 2;

Задания 13 (С1) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка плюс 2=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. a)  Пусть $t= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка ,$ тогда уравнение примет вид

$2t в квадрате минус 5t плюс 2=0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t=2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка =2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 синус x= корень из 2 ,2 синус x=4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x=2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка =2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x= корень из 2 ,2 синус x=4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x=2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка =2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 синус x= корень из 2 ,2 синус x=4 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x=2 конец совокупности . равносильно синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка =2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x= корень из 2 ,2 синус x=4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x=2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка =2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x= корень из 2 ,2 синус x=4 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x=2 конец совокупности . равносильно синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 синус x правая круглая скобка =2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x= корень из 2 ,2 синус x=4 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x=2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$ Получим число $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ,$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

525138

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ,$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$