РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 525097 Добавить в вариант

Стереометрическая задача. Угол между плоскостями

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все рёбра равны 4. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.

а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б)  Найдите тангенс угла между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Решение. а)  Найдём стороны треугольника ATC₁:

$AT= корень из: начало аргумента: 16 плюс 4 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента ,$

$TC_1= корень из: начало аргумента: 16 минус 4 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента ,$

$AC_1= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 32 конец аргумента .$

Заметим, что

$AC_1 в квадрате =32=12 плюс 20=AT в квадрате плюс TC_1 в квадрате .$

Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ATC₁ является прямоугольным.

б)  Так как прямая C₁T перпендикулярна прямым A₁T и AT, угол A₁TA искомый. Найдём тангенс угла A₁TA:

$тангенс \angleA_1TA= дробь: числитель: AA_1, знаменатель: A_1T конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби =2.$

Ответ: 2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 2.

525097

№ п/п	№ задания	Ответ
1	525097	2.