PDF-версии: 
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.
б) Найдите площадь треугольника DMG, если 
Решение. а) Пусть
и 
— центры квадратов АСDE и CBFG. Тогда 
и 
— средние линии треугольников АBD и АBG, поэтому достаточно доказать, что 
Если 
то 
Если же 
то образуются треугольники BCD и GCA, которые равны по двум сторонам (
) и углу между ними:
Значит, Следовательно, 
б) Треугольник АBC прямоугольный с прямым углом при вершине C, поскольку
Треугольник DMG состоит из трёх треугольников: DCG, DCM и GCM. Прямоугольные треугольники DCG и АСB равны по двум катетам, поэтому 
Далее,
где 
— точка пересечения прямых и BD. Аналогично 
Поэтому 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |