Тип Д19 C7 № 522100 
Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 181?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 180?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 9K(n) − n, если n — трёхзначное число?
Решение. а) Такое число существует. Например, для числа 
имеем 
б) Заметим, что для любого целого числа k число k2 либо делится на 4, если k чётно, либо даёт при делении на 4 остаток 1, если k нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа n может делиться на 4, только если квадрат каждой из его цифр делится на 4, то есть когда все его цифры чётны. Следовательно, если 
то все цифры числа
n чётны и либо 
либо 
Значит, искомого числа n не существует.
в) Пусть 
где 
— цифры. Тогда
Наименьшие возможные значения выражений 
и 
где — цифры, равны 
и 
соответственно и достигаются при 
и 
Значит,
При 
имеем 
Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение 
если n трёхзначное число, равно −277.
Ответ: а) Да; б) нет; в) −277.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) Да; б) нет; в) −277.
522100
а) Да; б) нет; в) −277.
PDF-версии: