Тип Д19 C7 № 521820 
Сложные задания на числа и их свойства. Последовательности и прогрессии
i
На доске написан упорядоченный набор из семи различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых четырех и среднее арифметическое последних четырех чисел равно 12.
а) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 12?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 8?
в) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее арифметическое всех чисел.
Решение. Пусть эти числа a, b, c, x, d, e, f. По условию 
а) Если 
то 
и это вполне возможно, например, для набора 20, 10, 6, 12, 30, 2, 4. Другой вариант: 10, 11, 15, 12, 9, 13, 14.
б) Если 
то 
и 
что невозможно — получить сумму без использования единицы невозможно. Значит, среди чисел есть минимум две единицы.
в) Пусть среднее равно N, тогда сумма равна 
и 
То есть осталось найти наибольшее и наименьшее значение 
Ясно, что 
причем это достигается для набора 
и 
поскольку иначе 
Значение 
достигается для набора 7, 3, 1, 37, 2, 4, 5.
Итак, 
Ответ: а) 20, 10, 6, 12, 30, 2, 4 или 10, 11, 15, 12, 9, 13, 14, б) Нет, в) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) 20, 10, 6, 12, 30, 2, 4 или 10, 11, 15, 12, 9, 13, 14, б) Нет, в)
521820
а) 20, 10, 6, 12, 30, 2, 4 или 10, 11, 15, 12, 9, 13, 14, б) Нет, в)
PDF-версии: