РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 521680 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 225

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию x 32, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию x 4 плюс 1 конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 8 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка x.$

Решение. Обозначим $t= логарифм по основанию 2 x$ и приведем все логарифмы к основанию 2,учитывая что $x больше 0, x не равно 1;2; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ имеем:

$дробь: числитель: дробь: числитель: 5, знаменатель: t конец дроби , знаменатель: t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби плюс 1 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: t, знаменатель: t плюс 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 5 минус 3 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец дроби равносильно t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка$ $дробь: числитель: дробь: числитель: 5, знаменатель: t конец дроби , знаменатель: t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби плюс 1 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: t, знаменатель: t плюс 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 5 минус 3 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка минус t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец дроби равносильно$
$равносильно t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка$

Вернемся к исходной переменной: $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

521680

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 225

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521680	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$