PDF-версии: 
Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р — середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, AD = 2BC.
а) Докажите, что точка Q — середина отрезка AR
б) Найдите площадь треугольника APQ.
Решение. а) Продолжим боковые стороны о пересечения в точке T, а прямую AR — до пересечения с прямой BC в точке N. Очевидно BC — средняя линия треугольника TAD. Обозначим далее RD = 2x, BC = y, AP = z, тогда CD = 3x, CR = x, TC = 3x, AD = 2y, PB = z, TB = 2z. Применим теорему Менелая к треугольнику ATR, получаем
откуда RQ : QA = 1, что и требовалось доказать.
б) Из подобия треугольников CNR и ADR имеем
поэтому высота треугольника AQP, проведенная из вершины Q,втрое меньше высоты трапеции. Значит, площадь треугольника AQD равна
Площадь треугольника APQ найдем как разность площадей треугольников APD и AQD. Точка P — середина BC, поэтому высота треугольника APD вдвое меньше высоты трапеции. Значит, площадь треугольника APD равна
Следовательно, площадь треугольника APQ равна
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |