PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 — центр квадрата АВСD, точка О2 — центр квадрата СС1D1D.
а) Докажите, что прямые А1О1 и В1О2 — скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми А1О1 и В1О2, если ребро куба равно 2.
Решение. а) Допустим, это не так. Тогда точки
лежат в одной плоскости. Тогда в ней же лежат прямые, проходящие через 
и 
параллельные 
или, что то же самое, параллельные 
В частности, там лежат середины ребер AD и 
Они вместе с 
задают плоскость грани куба 
в которой не лежит 
Противоречие.
б) Введем координаты с началом в точке A и с осями 
направленными вдоль прямых 
соответственно. Тогда координаты точек будут такими: 
Если отложить вектор 
от точки 
то его конец T будет иметь координаты 
Написав уравнение плоскости, проходящей через 
получим 
Тогда расстояние от точки 
до этой плоскости составит 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |