PDF-версии: 
Найдите все а, при каждом из которых система 
имеет ровно два решения.
Решение. Первое уравнение приводится к виду 
при 
и к виду 
при 
Поэтому график уравнения представляет собой объединение двух дуг окружностей.
Перепишем второе уравнение в виде 
Его график - окружность с центром в точке 
и радиусом 
Нам нужно, чтобы эти два множества пересекались ровно в двух точках.
Это возможно в следующих ситуациях.
1) 
и эти две точки — 
и 
2) 
— при таких a окружность пересекает каждую дугу один раз, а всего два.
3) Окружность касается обеих дуг. Это происходит, если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то есть
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |